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Mathématiques

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Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques désignent aussi le domaine de recherche visant à développer ces connaissances, ainsi que la discipline qui les enseigne.

Les mathématiques constituent une science de nature purement intellectuelle, fondée sur des axiomes ou sur des postulats : c'est "l'art de construire des tautologies qui ne sont pas des évidences"[1]. Leur statut est vu de différentes façons par les philosophes : pour Kant, elles forment des "jugements synthétiques a priori", propositions nécessaires et universelles déconnectées de l'expérience. Pour Wittgenstein, il ne s'agit là que d'une activité, une technique reposant sur un système de conventions, qui ne relève pas d'un monde platonicien des êtres mathématiques.

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Les théorèmes

Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée (à l'opposé d'un axiome), c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Dans un sens plus large, on appelle théorème n'importe quelle affirmation démontrée sans qu'elle implique nécessairement les mathématiques (cas du théorème de régression de Mises ou du théorème d'équivalence de Ricardo-Barro).

Exemples de théorèmes utilisés à l'appui des thèses libérales :

On peut également énoncer sous la forme d'un théorème ce qui n'est en réalité qu'un sophisme. Par exemple, le "théorème de Haavelmo", dans le sillage keynésien, en contradiction avec la loi de Bitur-Camember, affirme qu' "une augmentation des impôts peut se traduire par un accroissement de la richesse nationale" (sous les hypothèses irréalistes d'économie fermée, investissement constant, propension marginale à consommer constante, etc., et emploi de sophisme anti-comptable).

Usage en économie

Alexandre Vandermonde (1735-1796) est l'un des premiers Français à entrevoir la possibilité et l'intérêt de l'emploi des mathématiques en économie politique. Les premiers pionniers français de la formalisation mathématique appliquée en économie sont :

  • Nicolas François Canard (Professeur de mathématiques)
  • Augustin Cournot (un des premiers à avoir formulé un modèle de l'offre et de la demande)
  • Jules Dupuit (ingénieur des Ponts et Chaussées ayant écrit un article demeuré célèbre sous le titre : De la mesure de l'utilité des travaux publics)
  • Camille Esmenard du Mazet
  • Jules du Mesnil-Marigny
  • Georges Fauveau (calcul différentiel et intégral)
  • Mathieu Wolkoff

Certains économistes (Paul Samuelson, Maurice Allais, École de Lausanne, École néoclassique,...) jugent crucial l'emploi des mathématiques en économie :

Chaque raisonnement, même mathématiquement non explicité, fait nécessairement intervenir implicitement une ou plusieurs relations mathématiques. Ceci fait que les auteurs les plus opposés de l'utilisation de l'outil mathématique y font en réalité constamment appel, mais l'utilisation qu'ils en font est constamment viciée parce que les grandeurs qu'ils considèrent ne sont jamais bien définies, parce que les relations qu'ils supposent ne sont jamais suffisamment explicitées et qu'enfin ignorant tout ou presque tout des règles qui s'appliquent à cette partie de la logique ils restent généralement incapables de mener à bien un raisonnement correct. (Maurice Allais)

D'autres économistes (École autrichienne) jugent au contraire que l'économie mathématique n'est qu'un schématisme éloigné de la réalité et incapable de rendre compte de l'action humaine dans sa complexité et dans son imprévisibilité.

Les domaines suivants sont communs à l'économie et aux mathématiques :

La résistance autrichienne à l'usage des mathématiques

Les économistes de l'École autrichienne d'économie rejettent et désapprouvent la mathématisation de l'économie pour différentes raisons :

  • L'exactitude en économie ne signifie pas forcément la mathématisation du savoir.
  • Quand il s'agit uniquement d'une méthode de représentation et démonstration des lois déjà énoncées de manière littéraire, ce n'est pas une méthode de recherche.
  • Le recours aux mathématiques, aux formules et aux graphes, sert souvent d'habillage artificiel pour masquer les erreurs de raisonnement et leur véritable sens économique.
  • Les économistes mathématiciens cherchent plutôt à appliquer au réel leurs modèles quantitatifs plutôt qu'en s'inspirant qualitativement des réalités économiques, ce qui conduit les "ingénieurs" et "politiciens" à nous faire croire à un "équilibre planifié" à l'appui des mathématiques avec prétention à la Science.
  • Les formalisations mathématiques sont insuffisantes pour la compréhension et l'interprétation des phénomènes sociaux et économiques.
  • Il n'existe pas de connaissance parfaite de tous les faits, les mathématiques prétendent à des "calculs conscients" alors que tous les éléments essentiels et non-quantitatifs sont laissés de côté, l'essence des phénomènes économiques est ainsi abandonnée au profit d'équations et calculs de bien-être et utilité.
  • Le traitement quantitatif des problèmes économiques ne peut jamais consister qu'en une histoire économique, jamais en une théorie économique.
  • Ce que les économistes mathématiciens estiment comme indispensable pour décrire des états économiques ne correspond à rien de réel, le plus souvent ce sont des situations purement hypothétiques, des situations d'un état d'équilibre imaginaire où ces mêmes économistes croient pouvoir apporter des solutions pour atteindre cet état d'équilibre imaginaire.
  • L'emploi des formules mathématiques peut paraître adéquat pour décrire des situations statiques (ou bien circonscrites) mais erroné pour décrire des processus dynamiques.

L'économie mathématique aurait un intérêt si un unique modèle pertinent était adopté par tous les économistes. Robert P. Murphy montre que les modèles de l'économie néoclassique ne sont pas les plus pertinents. Il considère que l'hypothèse de la "théorie du chaos" est beaucoup plus compatible avec la position autrichienne. Pour autant, son livre Chaos theory ne contient aucune équation. Friedrich Hayek[2], de son côté, effectuait une différence entre les mathématiques algébriques et les mathématiques quantitatives et numériques. Les premières seraient plus utiles pour l'établissement de modèles (prediction pattern) tandis que les secondes, abondamment sur-utilisées par les économètres, n'apportent pas d'explication et de compréhension sur le processus dynamique des actions humaines.

Économie littéraire contre économie mathématique ?

Les principaux promoteurs de l'approche mathématique, notamment Léon Walras et les défenseurs du projet walrasien, ont traité ceux qui étaient hostiles à ce traitement d'économistes littéraires et d'ignorants des mathématiques. La publication des œuvres de Stanley Jevons en 1871, et des Éléments d'économie politique pure de Léon Walras annoncent l'essor de l'économie mathématique et son enseignement dans les grandes universités. Léon Walras ne cache pas son intention de reconstruire l'économie politique au moyen des mathématiques, le discours de l'économie politique doit être celui aussi des mathématiques. En 1878, Walras va même jusqu'à présenter au ministre français de l'Instruction publique un projet d'organisation de l'enseignement de l'économie politique et sociale à l’École pratique des hautes études ainsi qu'une demande de création d'une chaire d'économie politique à l’École des Mines de Paris. Bien que le premier projet n'ait jamais abouti, le deuxième voit le jour en 1885 avec la première chaire de l’École des Mines attribuée à un ingénieur-économiste, Émile Cheysson. C'est l'entrée en scène des mathématiciens et d'ingénieurs-économistes ne pouvant pas être accusés d'ignorer les mathématiques.

Tandis que Walras admettait la possibilité de mesurer l'utilité, d'autres mathématiciens (comme Henri Poincaré) démontraient, par ailleurs, que jusqu'à l'avènement de la thermodynamique, la température était une grandeur non mesurable, définie arbitrairement par la dilatation du mercure — cela aurait pu être défini par la dilatation de tout autre corps. Le raisonnement quantitatif portant sur des choses qui ne sont pas mesurables, malgré le peu d'encouragement du départ, ne s'est pas arrêté là, les bases du futur Homo œconomicus étaient lancées.

Malgré le peu de confiance inspirée par les propositions mathématiques sur l'observation des faits, et plus particulièrement sur les processus économiques à expliquer, ceux qui s'opposaient à la voie mathématique étaient taxés d'économistes littéraires, ces derniers n'ont jamais nié, pourtant, les services pratiques que les mathématiques peuvent rendre, ces derniers soulignent surtout l'idée que l'emploi des mathématiques doit être modéré, l'emploi des mathématiques en science économique n'augmente pas nos connaissances, les hypothèses mathématiques prétendant expliquer les actions humaines découlent forcément de notre raisonnement non mathématique, alors que les économistes-mathématiciens se bornent à poser des modèles d'équations en prétendant que les réalités économiques découlent de ces modèles. Ludwig von Mises souligne cette « singularité de l'économie politique » aux yeux de l’École autrichienne :

Ce qui confère à la science économique une place particulière et unique dans la sphère tant de la connaissance pure que de l'utilisation pratique du savoir, c'est le fait que ses théorèmes propres ne sont susceptibles ni d'être vérifiés ni d'être démentis sur la base de l'expérience. Assurément, une mesure suggérée par un raisonnement économique correct aboutit à produire les effets visés, et une mesure suggérée par un raisonnement économique fautif n'y parvient pas. Mais une telle expérience est toujours, malgré tout, une expérience historique, c'est-à-dire l'expérience de phénomènes complexes. Cela ne peut, on l'a déjà montré, ni prouver ni démentir aucun théorème déterminé. L'application de théorèmes économiques erronés entraîne des conséquences non désirées. Mais ces effets-là ne possèdent jamais la force démonstrative irrésistible dont jouissent les faits expérimentaux dans le domaine des sciences de la nature. Le critère ultime de l'exactitude d'un théorème économique ou de son inexactitude, est uniquement la raison, sans aide possible de l'expérimentation. (L'Action humaine)

L'illusion mathématique

Les mathématiques sont fréquemment utilisées de façon inadéquate dans la finance, en économie, et même en politique. Elles donnent l'illusion de connaître les lois qui régissent une réalité extrêmement complexe et de pouvoir maîtriser l'avenir. En politique, elles peuvent se prêter à tous les constructivismes pour leur donner une apparence scientifique fallacieuse.

Dans sa critique de l'économie keynésienne, Henry Hazlitt[3] explique que les imprécisions et incertitudes inhérentes à la vie économique sont masquées par l'apparente précision des mathématiques. L'équation mathématique « donne une illusion de connaissance au lieu d'une confession candide d'ignorance et d'incertitude qui est le début de la sagesse ».

L'inventivité financière exploite fréquemment la certitude et la rigueur qui semblent régir les mathématiques pour mettre en place des produits douteux ou à la limite de l'escroquerie, ou se lancer dans des activités de spéculation risquées et mal circonscrites. Le risque est soigneusement caché, ignoré ou dilué, et seuls les gains potentiels sont mis en exergue. Les catastrophes financières qui en résultent sont amorties par une "collectivisation des pertes" pratiquée avec la complicité des États. Quelques exemples :

  • le hedge fund LTCM spéculait sur les marchés de taux d'intérêt grâce à une approche purement quantitative et mathématique. En 1998, après avoir pris, à l'insu de tous, des positions tout à fait inouïes, inimaginables pour l'époque (représentant plus de 1200 milliards de dollars), LTCM est au bord de la faillite (exposées au risque de contrepartie, les principales banques d'investissement dont LTCM était client vont reprendre le fonds) ;
  • les credit default swaps (dérivés sur événement de crédit, ou couverture de défaillance), inventés en 1994 par la financière Blythe Masters, reposent sur un modèle probabiliste de standardisation des risques et permettent d'effectuer des transactions non-financées conduisant à des expositions hors-bilan, contournant ainsi toutes les règles prudentielles. Ces instruments sont parfois comparés à une assurance, ce qu'ils ne sont pas. Les CDS constitueront une des causes de la chute de AIG et de Lehman Brothers en 2008.

Les mathématiques, à leur corps défendant, peuvent ainsi servir de paravent à des transferts de risque mal maîtrisés et à des opérations finalement immorales.

L'illusion mathématique consiste à faire croire en la solidité d'un produit financier ou d'une stratégie sur la simple base des mathématiques (en général ni pertinentes ni foncièrement innovatrices) mises en œuvre pour leur conception. En particulier, les calculs de probabilités donnent l'illusion qu'un événement très peu probable n'arrivera jamais, alors que la réalité semble plutôt respecter la "loi de Murphy" (si quelque chose « peut » mal tourner, alors cette chose finira « infailliblement » par mal tourner), ou la "théorie du Cygne Noir" de Nassim Nicholas Taleb (un événement imprévisible et de très faible probabilité peut survenir avec des conséquences de portée considérable).

Par exemple, le modèle Black-Scholes, qui donne la valeur théorique d'une option, n'est pas réaliste (au vu du comportement des marchés) et sous-estime très fortement les événements "improbables". Les mathématiques financières ne sont qu'une branche des mathématiques, et non un outil qui permettrait de prédire l'avenir ; elles décrivent un monde idéal (celui du modèle adopté), et non le monde réel.

Nassim Nicholas Taleb parle du "travers platonicien" qui pousse les analystes à préférer « avoir tort avec précision » plutôt que d'« avoir grosso modo raison ».

L'illusion mathématique la plus répandue est celle qui consiste à prendre le modèle pour la réalité (par exemple la courbe de Phillips, qui supposait une relation inverse entre chômage et inflation), et à en tirer des conclusions fausses.

Bibliographie

  • 1994, Rudy van Zijp et Hans Visser, Mathematical Formalization and the Domain of Economics, In: Jack Birner et Rudy van Zijp, dir., Hayek, Coordination and Evolution: His Legacy in Philosophy, Politics, Economics and the History of Ideas, London: Routledge, pp67-93
  • 1995, Rudy van Zijp et Hans Visser, "On the Non-Neutrality of Mathematical Formalization: Austrian vs. New Classical Business Cycle Theories", In: Gerrit Meijer, dir., New Perspectives on Austrian Economics London: Routledge
  • 2007, María Blanco González, "El rechazo de Carl Menger a la economía matemática: una aproximación" ("Le rejet par Carl Menger de l'économie mathématique : une approche"), Procesos de Mercado: revista europea de economía política, n°1, pp79-108

Notes et références

  1. Les mathématiques sont-elles l'avenir de la narrativité ? (Bruno Falissard)
  2. Q2: Pensez-vous que les mathématiques ont un rôle important à jouer dans la théorie économique? Hayek: Oui, mais les mathématiques algébriques et pas les mathématiques quantitatives. L'algèbre et les mathématiques sont une belle façon de décrire certains modèles, tout à fait indépendamment des grandeurs. Il y a un très grand mathématicien qui a dit : "L'essence des mathématiques est la fabrication de modèles", mais les économistes mathématiciens comprennent généralement peu les mathématiques au point de croire que les mathématiques robustes doivent être quantitatives et numériques. Au moment où vous commencez à accepter cette croyance, je pense que la chose devient très trompeuse - trompeuse, au moins, pour autant qu'elle concerne la théorie générale. Je ne nie pas que les statistiques soient très utiles pour informer sur l'état actuel des choses, mais je ne pense pas que l'information statistique ait quelque chose à contribuer à l'explication théorique du processus.
    • Stephen Kresge et L. Weinar, dir, 1994, «Hayek sur Hayek: un dialogue autobiographique",Londres : Routledge, p48
  3. Henry Hazlitt, The failure of the "new economics": an analysis of the Keynesian fallacies, 1959

Voir aussi

Citations

  • « Celui qui refuse de faire du calcul est condamné à dire des bêtises. » (John McCarthy)
  • « Quand on cesse de compter, c'est la peine des hommes que l'on cesse de compter. » (Charles Bettelheim)
  • « Ce serait vainement qu'on s'imaginerait donner plus de précision et une marche plus sûre à cette science (économie), en appliquant les mathématiques à la solution de ses problèmes. » (Jean-Baptiste Say)
  • « Le traitement de la probabilité a été obscurci par les mathématiciens. Dès le début il y a eu ambiguïté concernant le calcul de probabilité. Quand le chevalier de Méré consulta Pascal sur les problèmes impliqués par le jeu de dés, le grand mathématicien aurait dû dire franchement à son ami la vérité ; à savoir, que les mathématiques ne peuvent être d'aucun usage pour le joueur dans un jeu de hasard pur. Au lieu de le faire, il enveloppa sa réponse dans le langage symbolique des mathématiques. » (Ludwig von Mises)
  • « Les mathématiciens sont comme les Français : quoique vous leur dites, ils le traduisent dans leur propre langue et transforment cela en quelque chose de totalement différent. » (Goethe)
  • « Je ne fais jamais confiance à des chiffres que je n’ai pas falsifié moi-même. » (attribué à Winston Churchill)
  • « Ce qui compte ne peut pas toujours être compté, et ce qui peut être compté ne compte pas forcément. » (Albert Einstein)
  • « Si l’économie mathématique est si dommageable au progrès de la science économique, la question des raisons de son développement devient décisive, à la fois pour penser l’avenir de la science économique et le processus de sélection des théories économiques. Nous pensons qu’il s’agit d’une erreur de jugement. (...) Les mathématiques comme science des possibles préparent la manipulation du réel. L’économiste espère pouvoir réaliser son rêve : construire une économie qui serait dépendante de sa connaissance. Comme les produits génétiquement modifiés permettent l’appropriation des semences et des ressources les plus intimes de la nature, l’économiste a l’ambition d’être un acteur décisif de la manipulation des marchés et de l’âme humaine ». (François Facchini)
  • « Un mathématicien est un aveugle qui, dans une pièce sombre, cherche un chat noir qui n’y est pas.  » (Charles Darwin)
  • « Je pense qu'on devrait faire tout son possible pour empêcher les gens d'utiliser les mathématiques quand le langage courant permet un résultat aussi rapide. » (Alfred Marshall)
  • « J'affirme que pour être un bon économiste, il faut être un bon mathématicien ou un bon philosophe, ou les deux. J'affirme que nous avons surévalué les mathématiques et négligé notre humanité. Cela s'est traduit par la création de modèles bancals, artificiels, qui souvent n'aident guère à comprendre la réalité. » (Václav Havel, préface au livre L'économie du Bien et du Mal de Tomáš Sedláček, Eyrolles, 2013)
  • « Une dérive caractéristique induite par les procédés de la mise en forme mathématique, presque inéluctable dans la pratique, consiste à traiter les jugements de valeur comme s’ils étaient mesurables ; et la clé d’une réfutation de cette erreur-là c’est de se rappeler sans cesse qu’un jugement de valeur est un acte de la pensée. » (François Guillaumat)
  • « Malheureusement, pour faire coller le monde avec des mathématiques parfaites, il faut bien tricher, et truquer ses hypothèses quelque part. » (Nassim Nicholas Taleb, Le Cygne noir, 2007)
  • « Les modèles mathématiques permettent souvent d'expliquer pourquoi les prévisions économiques de la veille se sont révélées fausses. » (Michel Soufflet, Les mathématiques de tous les jours)

Liens externes

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